Uma Mente Brilhante

Fui ver e ouvir, John Nash quando esteve em Portugal na 24.ª Conferência Europeia de Investigação Operacional em 2010, na Universidade de Lisboa, Portugal. Foi numa segunda-feira na Aula Magna e ainda me lembro de ter saído daquela conferência completamente fascinado com a simplicidade daquele Homem e a complexidade dos assuntos de que falava. Tudo parecia simples! A vida de Jonh Nash dava um filme! E deu mesmo – Uma Mente Brilhante!

Era uma pessoa solitária e introvertida que desde cedo preferia ler a brincar com outras crianças tendo na altura considerado o seu comportamento anti-social. Mais crescido dedica-se a fazer experiências científicas, onde obviamente aprendia muito e de forma mais interessante que na Escola, e rapidamente surge o interesse pela Matemática depois de ler “Men of Mathematics” escrito em 1937 por Bell. Prosseguiu os estudos superiores na Universidade de Bluefield onde demonstrou e desenvolveu as suas capacidades matemáticas, tendo ingressado em 1945 na Universidade de Carnegie Mellon onde lhe foi oferecida uma bolsa de estudo.

(John Nash fotografado em Lisboa em Julho de 2010 por Enric Vives-Rubio)

Iniciou a sua carreira universitária em Química e só mais tarde é que voltou para a Matemática. Terminou o Doutoramento aos 21 anos com a Tese conhecida como o “Equilíbrio de Nash”, que viria a revolucionar tudo o que se sabia na altura sobre Estratégia na Economia. Sendo que passados 45 anos depois esta Teoria é reconhecida e lhe foi atribuído o Prémio Nobel de Economia.

Nash trabalhou em várias organizações americanas estatais e Universidades até que que lhe é diagnosticado esquizofrenia. No doloroso processo de tratamento, produzia importantes trabalhos matemáticos, até que 1990 conseguiu recuperar da doença.

Ele dedicou-se sobretudo à Teoria dos Jogos, um ramo da Matemática Aplicada, que foi criada para modelar fenómenos que podem ser observados quando dois ou mais “agentes de decisão” interagem entre si.

A teoria dos jogos tornou-se um ramo muito importante da Matemática nos anos 30, do século XX, especialmente depois da publicação de The Theory of Games and Economic Behavior de John von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944. Ela fornece as ferramentas necessárias para a descrição de processos de decisão conscientes e objetivos envolvendo mais do que um indivíduo. Sendo por isso usada para estudar as eleições, a evolução genética e as relações de poder, por exemplo, mas ela própria também é uma Teoria de Matemática Pura que pode ser aprofundada deste modo.

Acredita-se (eu acredito) que a Teoria dos Jogos formará algum dia o alicerce de um conhecimento teórico e técnico estrito de como as decisões são processadas explicando como funciona a Economia. Sendo que muito trabalho será necessário desenvolver para que este estádio possa ser atingido. Hoje é usada como uma via para auxiliar o entendimento de sistemas mais complexos.

Considere o dilema do prisioneiro!

A situação é a seguinte: Al e Bob são dois ladrões que são capturados e acusados do mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem comunicar entre si, o juiz faz seguinte proposta: cada um pode escolher entre confessar ou negar o crime. Se nenhum deles confessar, ambos terão uma pena de um ano. Se os dois confessarem, então ambos terão pena de cinco anos. Mas se um confessar e o outro negar, então o que confessou será libertado e o outro será condenado a 10 anos de prisão.

Como encontrar uma solução para o dilema de Bob e Al? Melhor dizendo, que estratégias são plausíveis para estes dois prisioneiros passem o menos tempo possível na prisão, isto é, minimizem a pena a cumprir?

Analisemos o jogo do ponto de vista de Al:

“Duas coisas podem acontecer: Bob pode confessar ou Bob pode negar. Se Bob confessar, então é melhor confessar também. Se Bob não confessar, então saio da prisão se confessar. Em qualquer dos casos é melhor confessar. Então irei confessar!"

Se analisarmos o jogo do ponto de vista de Bob, podemos aplicar a mesma linha de raciocínio e concluir que Bob também irá confessar. Assim, ambos irão ficar presos e cumprem a mesma pena de cinco anos.

Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem vantagem em mudar a sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem. De facto se um prisioneiro confessar e o outro não, aquele que não confessou fica preso na cadeia mais tempo que se tivesse confessado. Ou seja o equilibro de Nash é obtido quando ambos confessam.

Para ilustrar a utilização desta Teoria veja-se o seguinte problema:

O governo deseja vacinar os cidadãos contra um certo vírus. Este vírus possui dois sorotipos, sendo que é desconhecida a proporção na qual os dois sorotipos ocorrem na população do vírus. Existem no mercado duas vacinas. A eficácia da vacina A é de 85% contra o sorotipo 1 e de 70% contra o sorotipo 2. A eficácia da vacina B é de 60% contra o sorotipo 1 e de 90% contra o sorotipo 2. Qual a política de vacinação mais apropriada?

Esta situação pode ser modelada como um “jogo de soma zero” com dois jogadores, onde o jogador Governo deseja fazer a vacinação de modo a aumentar o mais possível a fracção dos cidadãos resistentes ao vírus e o jogador Vírus deseja fazer o contrário. Este problema resolve-se através de técnicas de Programação Linear.

A Teoria dos Jogos estuda as escolhas de comportamentos ótimos quando o custo e benefício de cada opção não é fixo, mas depende, sobretudo, da escolha dos outros indivíduos.

Este não foi o único contributo de Jonh Nash para a Matemática, mas sem dúvida foi o mais importante.

Jonh Nash morreu a  24 de Maio de 2015 num acidente a caminho de casa. No jogo da vida não soube escolher o melhor táxi, aquele que o conduziria em segurança, sendo que, na verdade, este problema não tem solução!