Um grande desafio!
Quais os números naturais que se podem escrever como produto de dois factores apenas de uma maneira (a menos da ordem dos factores)?
A expressão "a menos da ordem dos factores" significa que a ordem dos factores não interessa. Por exemplo, 6×3 e 3×6 contam como uma única maneira de escrever 18 como produto de dois factores.
O número 12 temos três formas distintas: 12=1×12 ou 12=2×6 ou 12=3×4. Portanto, 12 não pertence à solução do problema proposto, mas o número 13 sim! Tem apenas uma forma: 13=1×13. Este faz parte da solução do problema.
O número 12 temos três formas distintas: 12=1×12 ou 12=2×6 ou 12=3×4. Portanto, 12 não pertence à solução do problema proposto, mas o número 13 sim! Tem apenas uma forma: 13=1×13. Este faz parte da solução do problema.
Os números que, à semelhança do 13, que se podem escrever como o produto de dois factores apenas de uma forma, a menos da ordem dos factores, e com factores diferentes, dizem-se números primos. Por exemplo, 1 não é primo porque a única forma de escrever 1 é como produto de dois factores iguais: 1=1×1. Note-se que, como o 1 é divisor de qualquer número, um desses divisores será necessariamente o número 1. Além disso, qualquer número é divisível por si próprio, pelo que o outro divisor de um número primo terá de ser o próprio número. Assim, podemos afirmar que um número primo admite apenas como divisores o 1 e o próprio número.
No inicio deste ano o Jornal El País destaca uma noticia com o título "Descoberto o maior número primo, com 23 milhões de dígitos" e pode ler-se que foi Jonathan Pace, um engenheiro norte-americano, que descobriu o maior número primo conhecido até a data, com mais de 23 milhões de dígitos.
No inicio deste ano o Jornal El País destaca uma noticia com o título "Descoberto o maior número primo, com 23 milhões de dígitos" e pode ler-se que foi Jonathan Pace, um engenheiro norte-americano, que descobriu o maior número primo conhecido até a data, com mais de 23 milhões de dígitos.
Além da definição de número de número primo, uma outra importante característica é que qualquer número inteiro pode ser decomposto como o produto de números primos. Por exemplo, 12 é decomposto em 3 x 2 x 2 todos primos.
O número agora encontrado encontrado pertence a uma família especial de números primos, os primos de Mersenne, que obedecem à forma 2^n - 1. Por exemplo, 2^2 - 1 = 3, então 3 é o primeiro primo de Mersenne. No ano de 1588, o Matemático Pietro Cataldi mostrou que 2^17 - 1 = 131.071, e ficou registado como o maior primo de Mersenne até então.
Em todos esses séculos, a humanidade só encontrou 49 primos desta família. Aquele detectado agora por Pace é o quinquagésimo. É obtido com a fórmula 2^(77.232.917) - 1 e tem 23.249.425 dígitos, quase um milhão a mais que o recorde anterior, obtido há dois anos.
A busca por estes números primos gigantes não é mero passatempo, muito da nossa vida depende destes números. O algoritmo criptográfico RSA(1), usado para garantir a segurança da troca de informações na Internet baseia-se nessa decomposição de números inteiros em números primos. Quanto maiores forem estes números mais difícil será descodificar este código. As transacções comerciais efectuada pela Internet e a privacidade das comunicações dependem em parte dos números primos.
Jonathan Pace trabalha para a empresa FedEx e é um dos milhares de voluntários do GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search (https://www.mersenne.org/), um projeto colaborativo para procurar números primos de Mersenne pela Internet, por meio de um programa gratuito desenvolvido pelos cientistas da computação George Woltman, Scott Kurowski e Aaron Blosser. Pace manteve o seu computador pessoal com um processador Intel i5-6600 a trabalhar durante seis dias sem parar para provar que 277.232.917 - 1 é um número primo. Receberá uma recompensa de 3.000 dólares. A Electronic Frontier Foundation (https://www.eff.org/) oferece 150.000 dólares para a primeira pessoa que encontrar um número primo com 100 milhões de dígitos.
O número agora encontrado encontrado pertence a uma família especial de números primos, os primos de Mersenne, que obedecem à forma 2^n - 1. Por exemplo, 2^2 - 1 = 3, então 3 é o primeiro primo de Mersenne. No ano de 1588, o Matemático Pietro Cataldi mostrou que 2^17 - 1 = 131.071, e ficou registado como o maior primo de Mersenne até então.
Em todos esses séculos, a humanidade só encontrou 49 primos desta família. Aquele detectado agora por Pace é o quinquagésimo. É obtido com a fórmula 2^(77.232.917) - 1 e tem 23.249.425 dígitos, quase um milhão a mais que o recorde anterior, obtido há dois anos.
A busca por estes números primos gigantes não é mero passatempo, muito da nossa vida depende destes números. O algoritmo criptográfico RSA(1), usado para garantir a segurança da troca de informações na Internet baseia-se nessa decomposição de números inteiros em números primos. Quanto maiores forem estes números mais difícil será descodificar este código. As transacções comerciais efectuada pela Internet e a privacidade das comunicações dependem em parte dos números primos.
Jonathan Pace trabalha para a empresa FedEx e é um dos milhares de voluntários do GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search (https://www.mersenne.org/), um projeto colaborativo para procurar números primos de Mersenne pela Internet, por meio de um programa gratuito desenvolvido pelos cientistas da computação George Woltman, Scott Kurowski e Aaron Blosser. Pace manteve o seu computador pessoal com um processador Intel i5-6600 a trabalhar durante seis dias sem parar para provar que 277.232.917 - 1 é um número primo. Receberá uma recompensa de 3.000 dólares. A Electronic Frontier Foundation (https://www.eff.org/) oferece 150.000 dólares para a primeira pessoa que encontrar um número primo com 100 milhões de dígitos.
Aqui está um excelente desafio.
(1) RSA is one of the first public-key cryptosystems and is widely used for secure data transmission. In such a cryptosystem, the encryption key is public and it is different from the decryption key which is kept secret.
